TRIÂNGULO RETÂNGULO

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°,

estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Propriedades do triângulo retângulo:

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver fig. acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

O TRIÂNGULO NA IDADE MÉDIA

No princípio da Idade Média, apareceu no Mediterrâneo,uma vela triangular, alinhada com o eixo longitudinal do casco, contrariando a até utilizada, que era perpendicular ao mesmo eixo e de configuração quadrada, chamada Redonda, por ao longe parecer redonda.

Não se sabe quem a utilizou pela primeira vez.

Árabes, Indianos ou até Indonésios, são apontados como
os percursores de tal sistema, que permite à embarcação
navegar contra o vento a uns 50 ou 60 graus.

Os Árabes usavam na pesca e no transporte de géneros, uma embarcação robusta, de formas finas, pouco alterosa e de pouco calado, chamada "Caravo" que armava com uma vela latina (triangular).

Com a ocupação da Península Ibérica, é de prever que este tipo de embarcação tenha vindo com os invasores e tenha chamado a atenção dos armadores da costa do Atlântico, devido às suas qualidades náuticas.

Os Portugueses introduziram grandes melhoramentos e nasceu a Caravela Portuguesa.

A Caravela Portuguesa foi o navio escolhido para a demanda dos Descobrimentos substituindo as barcas de vela retangular. A vela triangular ou latina permitiu-lhes navegar contra o vento (bolinar).

Durante mais de 450 anos a Caravela tornou-se célebre pelo Mundo.

Mestres de bolinar, os Portugueses, mantiveram, durante muitos anos, o segredo desta arte no Oceano. Por isso chegaram até ao Cabo da Boa Esperança, sem a concorrência do resto da Europa.


Em 1575, o escritor Escalante de Mendonça escrevia:..."A Caravela Portuguesa foi a melhor invenção que até ao tempo se alcançou para a navegação de bolina."

E nós acrescentamos:
" Na base desta invenção está o triângulo!"

CLASSIFICAÇÃO DO TRIÂNGULO

Quanto ao lado:

Equilátero
3 lados iguais






Isósceles
2 lados iguais e 1 diferente






Escaleno
3 lados diferentes





Quanto ao ângulo:

Acutângulo
3 ângulos agudos

Retângulo
1 ângulo reto

Obtusângulo

1 ângulo obtuso

A IMPORTÂNCIA DO TRIÂNGULO NA VIDA HUMANA

Não existe qualquer referência pontual a quem ou como terá sido inventado ou descoberto o triângulo.
Terá sido o Homem que ao longo da sua evolução terá sentido necessidade na sua vida prática de tornar rígidas e seguras algumas das suas construções. Por exemplo, nos tempos primitivos da civilização Grega, foi usado pelos gregos o triângulo de descarga.
O triângulo de descarga era uma construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas. Devido ao peso, as portas podiam abater, mas com o triângulo, esse peso era suportado por postes laterais que eram maciços.

O Triângulo é "estável"

Na atualidade, são muitas as situações em que se recorre à robustez do triângulo. Os engenheiros usam frequentemente formas triangulares nas suas construções, para torná-las mais seguras.
Exemplos:






Na cobertura de estádios.









Estádio do Dragão, no Porto.









Nas pontes de ferro.









Ponte D. Luís, no Porto

INTRODUÇÃO

Os triângulos são as figuras geométricas mais importantes, já que qualquer polígono com um número maior de lados pode reduzir-se a uma sucessão de triângulos, ao traçar todas as suas diagonais a partir de um vértice.
A geometria do triângulo é de uma riqueza incrível e tem apaixonado, durante séculos, os matemáticos e amadores.
A geometria de Euclides reserva um lugar preponderante ao triângulo. Com efeito, três pontos não alinhados (não colineares) determinam um e um só plano; e o triângulo é neste plano o polígono mais simples.

O triângulo é um polígono com três lados. Os três pontos não colineares são os vértices do triângulo: A, B e C.


As linhas que os unem são os lados do triângulo: [AB], [BC] e [AC].Um vértice e o lado (oposto) que o não contém dizem-se opostos: o lado a é oposto a A. O lado b é oposto ao lado B e o lado c é oposto a C.



Os ângulos internos do triângulo são os ângulos cujos vértices são os vértices do triângulo e os lados contêm os lados do triângulo. Assim temos três ângulos internos: ângulo ABC, ângulo ACB e ângulo BAC.


Há ainda a considerar os ângulos formados por cada lado e pelo prolongamento do outro lado, são os ângulos externos do triângulo: α, β e γ.

PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

O Circuncentro

A mediatriz do lado de um triângulo é uma reta perpendicular ao lado no seu ponto Médio.
Se traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo, elas se cruzam em um ponto O, chamado circuncentro.
Este ponto está equidistante (à mesma distância) dos três vértices do triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita ao mesmo.

O Incentro

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semi-reta interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais.
As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se cruzam em um ponto chamado incentro I, que está à mesma distância (equidistante) dos lados do mencionado triângulo e é o centro de uma circunferência inscrita no mesmo.

O Ortocentro


A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado oposto.
Um triângulo admite três alturas.
As alturas (Ha,Hb e Hc) de um triângulo que se cruzam em um ponto H, chamado ortocentro.

O Baricentro

A mediana de um triângulo é o segmento de recta que une um vértice e o ponto médio do lado oposto.
Um triângulo admite três medianas.
As medianas de um triângulo se cruzam num ponto chamado baricentro que dista dois terços do vértice da mediana correspondente.


O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. Isto quer dizer que, se suspendermos um triângulo de material homogéneo pelo seu baricentro, ele fica em equilíbrio.

A ORIGEM DA GEOMETRIA

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos. Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo. As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica, são os testemunhos mais antigos de um conhecimento sistemático da Geometria. Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babilônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e comércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo. A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa só muito recentemente superado.

ORIGEM DO DESENHO GEOMÉTRICO

“É possível inclusive que, a partir desta evolução nas relações do homem e da fauna, nascera, há 60.000 anos, uma arte tão direta, tão inspirada, tão pujante, que conservou sua imortal juventude. Não foi nada explosivo. A mão tentou desenhar os traços, movida por um pensamento nascente que logrou progressivamente sua regulação, que acumulou experiência e que fecundou a imaginação. E é impossível não evocar tão grande é a continuidade de nossa espécie desde suas origens selvagens nesses traços gravados no osso, nesses traços curvos e titubeantes, os riscosque traçavam, não há muito, os meninos, como elementos precursores da escrita.” Pierre-Paul Grassé, in La vie des animaux, referindo-se à evolução do homem e ao surgimento da arte de desenhar (pintura pré-histórica encontrada na gruta de Lascaux, França). Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita se não a combinação de pequenos símbolos desenhados? Através de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando indicadores importantes para os pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nossa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem. Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, gradativamente aprimorada, foi muito importante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônicos e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram verdadeiras façanhas arquitetônicas. Porém, uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamento humano em que se propuseram a trabalhar realizaram feitos que marcaram definitivamente a história da humanidade.Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A obra Elementos, de Euclides (?300 a.C.), é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria grega que nasce o Desenho Geométrico que aqui vamos estudar. Na realidade, não havia entre os gregos um diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geometria. Essa conduta euclidiana é seguida até hoje em países como a França, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmente, os problemas de construção foram há muitos banidos dos nossos livros de Geometria.Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática.

Para quem serve o desenho geométrico?

· A resolução de um problema de construção geométrica, de um modo geral compreende duas etapas: a pesquisa das propriedades e da seqüência de operações que possibilitam realizar a construção;
· a execução de construção pedida, servindo-se dos instrumentos de desenho.Pois bem, na primeira etapa lidamos, de forma teórica, com os elementos da Geometria, exigindo-se dos estudantes muito empenho. O estudo do desenho, nessa fase, dará oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico dedutivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que vá se dedicar futuramente como profissional, o estudante terá aí um elemento fundamental na sua formação. Na segunda etapa, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com freqüência, o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver se concretizarem, no papel, as idéias que possibilitaram a construção. Especificamente os que pretendem orientar seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitetura terão no Desenho Geométrico o instrumental necessário ao Desenho Projetivo, que, por sua vez, será muito utilizado nessas profissões.

Para que serve o desenho geométrico?

O Desenho Geométrico é classificado como desenho resolutivo, pois através dele, determinam-se respostas precisas para problemas de natureza prática ou teórica.

Desenho Geométrico – José Carlos Putnoki – Ed. Scipione

DESENHO GEOMÉTRICO - Pra Quê?

As formas geométricas aparecem em toda parte do mundo. Independente de cultura, crença ou espaço geográfico.
Embora muitas vezes nem pareça, a exatidão e precisão exigidas na forma do desenho geométrico, representa soluções em todos os âmbitos da nossa vida.
O Desenho Geométrico apesar de ser estudado separadamente, alia-se às geometrias diversas, arquitetura, engenharias, design e arte.
A prática do Desenho Geométrico baseada na lógica significa um grande ganho em outras áreas do conhecimento, permitindo novas descobertas.
As grandes Tecnologias contemporâneas se firmam nesse tempo também, graças ao estudo de formas Geométricas, pois, o nosso mundo é pensado nesse sentido.
Porém, apesar do reconhecimento da importância da Geometria, ainda peca-se muito no que diz respeito ao seu estudo hoje, nas universidades, tornando-se uma disciplina chata, e sem maiores atrativos, onde a maior preocupação da maioria dos professores se dá apenas no traço, na cópia e na organização dos trabalhos...
Com o advento da tecnologia digital, a geometria, o desenho técnico, e outras disciplinas afins, deveriam ganhar uma nova percepção, condizente com o momento no qual estamos vivendo.
O grande valor do desenho geométrico hoje, não está no traçado à lápis, pois, já existem programas direcionados para a execução de tal trabalho sem manchar o papel, e com tremenda perfeição.
E teremos enfim, o prazer de estudar desenho Geométrico com uma postura investigativa, analítica, crítica, onde o centro da preocupação estará apenas na informação, e não na representação.

Rozane Suzart

PONTO

A Geometria é a Ciência da extensão. O espaço é extenso sem interrupção e sem limite. Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. O ponto não tem dimensão.

A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a idéia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.
Em Desenho Geométrico o ponto é representado pela interseção de duas pequenas linhas e nomeado por uma letra maiúscula.

O PONTO NO PLANO

O ponto P pertence ao plano a.

RETA

A linha reta é a mais simples de todas as linhas Um fio esticado representa bem a sua imagem.

Ela pode ser traçada com o auxílio de uma régua.

Imagine agora uma linha reta infinita, sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe uma reta em matemática.

A representação de uma linha reta em Desenho Geométrico é feita através de setas nas extremidades e nomeada por uma letra minúscula.

SEMI-RETA

Na figura abaixo a linha reta cheia que se prolonga infinitamente para a direita, é uma semi-reta de origem:

A linha tracejada é outra semi-reta de origem A. Portanto, um ponto de uma reta separada em duas partes, e cada uma dessas partes, mais o próprio ponto, é uma semi-reta. O ponto que divide a reta é a origem da semi-reta. Na linguagem comum, diz-se que a semi-reta é a parte da reta que tem início em um ponto mas não tem final. As semi-retas são usadas, por exemplo, na noção de ângulo. Em Desenho Geométrico, costuma-se representar uma semi-reta por uma reta que começa em um ponto e nomeá-la por uma letra minúscula.

SEGMENTO DE RETA

Segmento quer dizer parte, pedaço. A palavra vem do latim "segmentum", que significa "corte". Segmento de reta é a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, que são chamados extremos. Na linguagem comum costuma-se dizer que segmento é uma parte da reta que tem começo e fim. No segmento AB representado abaixo, os pontos A e B são os extremos

RETA MEDIATRIZ

Do latim - mediatrice; 1 - é o lugar geométrico dos pontos de um plano, eqüidistante das extremidades de um segmento; 2 - reta perpendicular a um segmento, passando por seu ponto médio.

RETA BISSETRIZ

e biz + sectriz = Bissetriz;1 - é a semi-reta que partindo do vértice de um ângulo divide-o em dois ângulos congruentes; 2 - linha que divide um ângulo ou uma superfície em duas partes iguais.

RETA PERPENDICULAR

Do latim - perpendiculare; 1 - é a que se dirige sobre uma linha ou sobre um plano, formando ângulo reto; 2 - diz-se de qualquer configuração geométrica cuja interseção com outra forma ângulo reto.

RETA PARALELA

Do grego - parallelos; diz-se de duas ou mais linhas ou superfícies eqüidistantes em toda a extensão. r e s são retas paralelas entre si. Então, duas retas são paralelas quando mantêm sempre a mesma distância entre si. Assim duas retas paralelas estão em um mesmo plano e não se interceptam.

ÂNGULO

É o resultado da inclinação recíproca entre duas semi-retas que se encontram em um ponto chamado VÉRTICE

CLASSIFICAÇÃO:

RETO – É o ângulo que mede 90º

AGUDO – É o ângulo que mede menos de 90º.

OBTUSO – É o ângulo que mede mais de 90º

RASO – É o ângulo que mede 180º

VOLTA INTEIRA – É aquele que mede 360º

ELEMENTOS

Vértice – Ponto de encontro das duas semi-retas.
Semi-reta – São as que convergem para o vértice.
Abertura – Espaço compreendido entre as duas semi-retas

IDENTIFICAÇÃO

Alfa, Beta e Gama.

BISSETRIZ DO ÂNGULO

É a reta que dividi o ângulo em duas partes iguais.

TRANSPORTE DE ÂNGULOS

Consiste em transportar o ângulo de medida congruente.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90º.

ÂNGULO SUPLEMENTAR

Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º.

COMPASSO

Instrumento utilizado para traçar circunferências, arcos de circunferência e transportar medidas.
A ponta-seca e a do grafite devem estar no mesmo nível.
A ponta do grafite deve ser lixada em forma de chanfro que fica voltado para o lado de fora, como mostra a figura.